曲面的分类#

无边界曲面#

紧致无边界曲面分类定理给出，任意一个紧致、连通、无边界的曲面，必然同胚于以下某一曲面。进一步地，如果已知曲面的欧拉数与可定向性，即可具体确定哪一种类。

有边界曲面#

所有柄数和边界数相等的可定向有边界紧致连通曲面同胚；所有交叉柄数和边界数相等的不可定向有边界紧致连通曲面同胚。

通用形式#

任何紧致连通曲面 $M$ 一定同胚于以下形式的曲面：

其中：

• $\mathbb S^2$ 球面为没有其它项时的默认结果，与之作连通和不改变曲面的种类；

• $\#^g\mathbb T^2$ 项表示添加 $g$ 个环面来构建曲面，$g$ 表示曲面的亏格；

• $\#^c\mathbb{RP}^2$ 引入 $c$ 个交叉柄，如果至少有一个 $\mathbb{RP}^2$ , 曲面不可定向；

• $\#^bD$ 表示挖去 $b$ 个圆盘，或为曲面引入 $b$ 条边界。

例如，一个莫比乌斯环 $M_\mathrm{M\"{o}bius}$ 同胚于

即实射影平面挖去一个圆盘。