通量

通量 (Flux) 用以描述一个向量场“穿过”曲面的部分的大小。

向量场 $\bold A$ 在曲面 $\Sigma$ 上的通量 $\Phi_{\bold A}(\Sigma)$ 定义为：

$$ \Phi_{\bold A}(\Sigma)=\iint_\Sigma\bold A\cdot\bold n{\rm d}S $$

其中 $\bold n$ 为曲面在每一点上的单位法向量。一点上的单位法向量是自这一点垂直曲面向外的单位向量。

上述形式的通量是标量。

混乱邪恶

在一些情境下，通量还可以指向量场在曲面上某一点的向量在其单位法向量上的投影。

相当于上文中 $\bold A\cdot\bold n$ .

我们不采用这种说法。在需要时，用「通量密度」代替。

散度

散度 (Divergence) 用以描述向量场中的某一点附近的向量“趋向”或“远离”该点的趋势。标量。

向量场 $\bold A$ 在点 $x$ 的散度 ${\rm div}\bold A(x)$ 定义为：

$$ {\rm div}\bold A(x)=\lim_{\delta V\rightarrow{x}}\frac{\Phi_\bold A(\Sigma)}{|\delta V|} $$

其中 $\Sigma$ 是包含点 $x$ 的一个封闭曲面， $\delta V$ 为该曲面内的微小体元， $|\delta V|$ 为此微小体元的体积。上述定义可直观理解为以 $x$ 为球心的无穷小球上的通量。

向量场 $\bold A$ 的散度场记作 $\nabla\cdot\bold A$ .

散度定理

散度定理（或高斯散度定理）指出：

曲面上的通量等于散度在曲面内体积上的积分。

即对于曲面 $\Sigma$ , 围起的体积为 $\Omega$ 时：

$$ \iiint_\Omega{\rm div}\bold A(x){\rm d}v=\Phi_\bold A(\Sigma) $$

可以如是直观理解：向量从体积中的所有点“涌出”的的相加，就是向量在整个体积内“产生”的量，也就是通过曲面“外溢”的量。

「散度是通量的体密度。」